2倍角の公式の解説

数学において、2倍角の公式は非常に重要な役割を果たします。三角関数の中でも、特に加法定理を使って導かれるこの公式は、問題の解決に必須となることが多いです。

2倍角の公式とは？

２倍角の公式は、任意の角度θに対して、以下のような形で表されます：
$$\sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$$
$$\cos (2\theta )={\cos }^2(\theta )–{\sin }^2(\theta )$$
$$\tan (2\theta )=\frac{2\tan (\theta )}{1–{\tan }^2(\theta )}$$

公式の導出

2倍角の公式は、加法定理を利用して導出できます。特に、 $$\sin (2\theta )=\sin (\theta +\theta )$$ から始まります。この式は次のように変形されます:

$$\sin (2\theta )=\sin (\theta )\cos (\theta )+\cos (\theta )\sin (\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$$

したがって、最初の公式が導き出されました。

例題

次に、実際の解法例を通じて理解を深めましょう。

例えば、θ=30° の場合、

• sin(2θ) = 2sin(30°)cos(30°) を使うと、
• sin(2θ) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

使い方と応用例

2倍角の公式は、しばしば三角関数を簡約化する際に用いられます。微分、積分、さらには物理学の問題に適用できることが多いため、これらの公式を把握することは重要です。例えば：

$$\int \sin (2\theta )d\theta =-\frac{1}{2}\cos (2\theta )+C$$

結論

2倍角の公式を理解し、使いこなせることは数学の理解を深めるだけでなく、試験合格に向けた確かなステップです。👩‍🎓 これらの公式を自信を持って使えるようになりましょう！