等比数列の和の公式 – 数学を楽しもう

このページでは、等比数列の和の公式について詳しく解説します。具体的な例題と共に、公式の証明や応用を学びましょう！🎉

1. 等比数列とは？

等比数列（Geometric Progression）は、各項が前の項に同じ数（公比）を掛けて得られる数列です。例えば、初項が2、公比が3の等比数列は以下のようになります：

「等比数列の和の公式を理解することは、数列を扱う上で非常に重要です！」

等比数列の初項をa、公比をr、項数をnとすると、和は以下の式で表されます：

$$ S_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1} $$

この式に公比rを掛けます：

$$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^n $$

これらの式を引き算すると：

$$ S_n – rS_n = a – ar^n $$

従って、和の公式は：

$$ S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r} $$ (ただし、r ≠ 1) 🎉

例えば、初項3、公比2の等比数列の和を求める場合：

項数5として：

$$ S_5 = \frac{3(1 – 2^5)}{1 – 2} = \frac{3(1 – 32)}{-1} = \frac{3 \cdot -31}{-1} = 93 $$

公比が1より小さい場合、無限等比級数の和は次のように計算されます：

$$ S = \frac{a}{1 – r} $$

例：初項1、公比1/2の無限等比級数：

$$ S = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = 2 $$

等比数列の和の公式は、特に数列に関する問題を解決する際に使える非常に有用なものです。公式の理解と共に、具体的な問題を通じて練習しましょう！💪