このページでは、定積分の公式について詳しく解説します。定積分は微分学の一部であり、様々な応用がある重要な概念です。
定積分とは？
定積分は、ある関数の区間における「総和」を表します。特に、次のような形式で表されます：
$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx$$
ここで、\(a\) と \(b\) は定積分の区間を示し、\(f(x)\) は積分対象の関数です。
定積分の公式一覧
以下は、よく使われる定積分の公式です：
- 定数の積分：$$\int a \,dx = ax + C$$
- 多項式の積分：$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
- 指数関数の積分：$$\int e^x \,dx = e^x + C$$
- 三角関数の積分：
- $$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$$
- $$\int \cos x \,dx = \sin x + C$$
定積分の計算方法
定積分を計算する際は、基本的に不定積分を利用し、次にその結果を使用して区間[a, b]に対する値を求めます。
「定積分は面積の求め方とも言われています。」
定積分と不定積分の違い
不定積分は「関数」を求めるのに対し、定積分は区間[a, b]における「値の差」を計算します。具体的には：
$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) – F(a)$$
ここで、\(F(x)\) は\(f(x)\)の不定積分です。
グラフによる視覚化
まとめ
定積分は数学において非常に重要な概念です。正しい公式と方法を理解することで、様々な応用問題に対応できるようになります。
💡 ポイント： 定積分の計算は、基本的な公式を覚えることがカギです！
