半角の公式について – 理系ラボ

「半角の公式」は、三角関数において非常に重要な役割を果たします。具体的には、角度を半分にしたときのsine、cosine、tangentの値を求めるための公式です。これらの公式を理解することで、さまざまな数学問題を解くことが可能になります。

🔍 半角の公式の一覧

sin 半角の公式： $$\sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 – \cos \theta}{2}}$$
cos 半角の公式： $$\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$
tan 半角の公式： $$\tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$$

半角の公式は、主に２倍角の公式から導出されます。こちらは次のようになります：

例えば：

$$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$$

この式を使って、公式を計算します。まず、数式を整理していきましょう。

例えば、$\theta = 30^\circ$ の場合、半角の公式を用いると：

$$\sin(15^\circ) = \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 – \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 – \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$$

これにより、複雑な計算をシンプルにして、多くの問題を解決できます！

具体的にどう使うのかを見てみましょう。例えば、以下の問題に取り組みます：

「$\sin 45^\circ$を求めなさい。」

まずは、次のように考えます：

$$\sin\left(45^\circ\right) = 2\sin\left(22.5^\circ\right)\cos\left(22.5^\circ\right)$$